Thermodynamique du trou noir

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L'entropie du trou noir

Les trous noirs posent un problème fondamental : où passe l'information lorsqu'une particule tombe dans le trou noir ?
Rappelons-nous qu'un trou noir est caractérisé par trois données seulement : sa masse, son moment angulaire et sa charge électrique.
Or un système physique possède d'autres informations, et en particulier l'entropie, qui est une mesure de son désordre.

Perdre de l'entropie en tombant dans le trou noir, c'est violer le second principe de la thermodynamique, qui postule que cette grandeur est une fonction toujours croissante pour un système fermé - et l'univers est un système fermé puisque rien ne peut en sortir par définition.

En 1972, Stephen Hawking montre que la surface délimitée par l'horizon d'un trou noir ne peut pas décroître.
(note : ce qu'on va nommer ici 'surface du trou noir' est en réalité la surface délimitée par son horizon)

Coalescence de trous noirs
En particulier, dans le cas de la fusion de deux trous noirs, la surface de leur horizon final ne pourrait pas être inférieure à la somme des surfaces de leurs horizons originaux.

Jacob Bekenstein fait alors l'analogie entre cette surface du trou noir qui ne peut que croître et l'entropie : si la surface représente une mesure de l'entropie du trou noir, alors le second principe est sauvegardé.

L'entropie d'un trou noir s'exprime sous la forme -
avec A l'aire du trou noir, k la constante de Boltzman, h la constante de Planck, c la vitesse de la lumière et G la constante de gravitation.

Oui, mais surgit encore un nouveau problème : si le trou noir possède une entropie, alors il possède également une température.
Et tout corps qui possède une température est capable de rayonner de l'énergie selon un spectre correspondant à cette température.
Seulement, dans sa définition classique, rien ne peut sortir d'un trou noir.

 


Le processus d'extraction de Penrose

Pourtant, dès la fin des années 1960, le physicien Roger Penrose avait proposé un moyen d'extraire de l'énergie d'un trou noir de Kerr.
Rappelons nous qu'une fois à l'intérieur de l'ergosphère, aucun objet ne peut rester immobile : il est entraîné par la rotation du trou noir. Ceci a pour conséquence - le calcul est un peu complexe - qu'il peut exister des énergies négatives à l'intérieur de l'ergosphère.

Si une particule pénètre alors dans l'ergosphère et se scinde en deux, il est possible qu'une des deux particules ainsi créées tombe vers le trou noir avec une énergie négative.

Mecanisme d'extraction de Penrose
La particule émergente voit donc son énergie augmenter puisque E2+En = E1
(conservation de l'énergie).

Bien sur ceci n'est possible que sur certaines trajectoires précises. D'un point de vue purement physique, c'est même très peu probable.

Globalement, il semble donc que l'énergie de la particule émergente ait augmenté. Or l'énergie n'est pas gratuite. Si l'énergie de la particule que l'on voit ressortir a augmenté, c'est que celle du trou noir lui-même a diminué.

Il y a une limite à l'énergie que l'on peut extraire d'un trou noir : quand celui-ci n'a plus de rotation, il n'y a plus d'ergosphère, et le processus ne peut donc plus avoir lieu.
Le calcul indique que le maximum d'énergie que l'on pourrait théoriquement extraire d'un trou noir en rotation est de 29%.

 


Fluctuations du vide quantique

Le vide est un endroit qui est tout sauf vide! En effet il s'y crée en permanence des paires de particules/antiparticules (celles-ci sont appelées des particules virtuelles, car on ne peut pas les observer directement avec un détecteur) pour de brefs instants.
Ceci est possible grâce au principe d'incertitude de Heisenberg : l'énergie du vide, que l'on suppose nulle, ne peut être définie qu'à ΔE près pendant un temps ΔT avec la relation ΔE*ΔT > h/4π - où h est la constante de Planck.
Des paires particules/antiparticules d'énergie ± ΔE vont donc se créer et se recombiner en permanence, avec une durée de vie de l'ordre de h/ΔT. Notez qu'une des deux particules possède une énergie positive, et l'autre une énergie négative, de façon à ce que l'énergie totale soit toujours constante.

Ce phénomène est appelé fluctuations du vide quantique.

 


Le rayonnement de Hawking

Imaginons donc une telle création de particules au voisinage de l'horizon d'un trou noir.
Si l'une de ces particules ainsi créée, avec une énergie négative, tombe derrière l'horizon, la particule restante peut s'éloigner à une grande distance du trou, en emportant une énergie positive. Ne pouvant plus se recombiner avec son antiparticule, elle va devenir réelle et apparaître à un observateur distant comme ayant été émise par le trou noir.
Cette particule a emporté de l'énergie, il faut donc que le trou noir perde la même quantité d'énergie pour compenser.

Remarque : le phénomène inverse n'est pas possible.
Si la particule qui tombe dans le trou noir porte une énergie positive, alors l'autre devra y tomber aussi, parce qu'une particule ne peut pas exister avec une énergie négative dans notre univers.

Fluctuations quantiques
Les paires de particules/antiparticules virtuelles se créent en permanence au voisinage de l'horizon du trou noir.
Parmi ces paires, certaines ne pourront pas se recombiner, parce que l'une des deux aura été capturée par le trou noir.
Celle qui s'échappe emmène de l'énergie avec elle, faisant ainsi rayonner le trou noir.

On voit donc un apparaître un rayonnement d'évaporation en provenance du trou noir. Le calcul montre que celui-ci possède le spectre d'un rayonnement thermique, caractéristique d'un corps noir.
La température d'un trou noir est d'autant plus faible que celui-ci est massif. Un trou noir d'origine stellaire de 6 masses solaires possède ainsi une température de 10-8 K.
En effet, plus le trou noir est petit, plus la distance à parcourir par la particule virtuelle avant de devenir réelle est courte. Le taux d'émission et la température en sont donc d'autant plus élevés.

Puisqu'il rayonne, le trou noir s'évapore. Il a donc une durée de vie finie. Pour notre trou noir de 6 masses solaires, celle-ci est d'environ 2*1068 années.

La température d'un trou noir de masse M est donnée par : -
- est la constante de Planck réduite -

De même sa durée de vie -x 1066 ans

Evidemment, avec des valeurs aussi faibles, il est hors de question d'essayer de mesurer le rayonnement à la sortie du trou noir. On ne peut donc pas avoir de confirmation expérimentale directe.

A la fin de sa vie, la masse du trou noir diminue de plus en plus, et sa température tend alors vers l'infini. Le trou noir disparaît alors dans une gigantesque explosion. Ce qui se passe à ce moment-là est un mystère que la physique actuelle ne peut pas expliquer de manière satisfaisante.

Trou noir non éternel
Le diagramme de Penrose du trou noir ressemble alors à celui ci-contre : la singularité a un début et une fin. Après la fin de celle-ci, l'univers redevient comme avant.

Il existe une autre explication à ce rayonnement, rigoureuse celle-ci, donnée par Hawking lui-même en 1975, et qui repose sur une analogie avec le rayonnement de Unruh.
William Unruh a montré en 1976 qu'un observateur accéléré dans le vide observe une émission thermique de rayonnement, le "rayonnement de Unruh", dont la température T est proportionnelle à l'accélération γ (l'effet est assez faible: T~1 K pour γ =1019m/s2).

Cet effet indique une relation étroite entre accélération, gravitation, thermodynamique et mécanique quantique.
Nous n'entrerons pas dans le détail des calculs nécessaires pour montrer ceci ; ils reposent sur une approche semi-classique, dans laquelle on quantifie un champ existant.

Dans le rayonnement Hawking, il y a diminution de la surface du trou noir, puisqu'il y a diminution de sa masse par évaporation. Nous avons vu que cette surface est assimilable à l'entropie, mais comme la perte d'entropie du trou noir est exactement compensée par l'accroissement d'entropie du rayonnement thermique généré, il n'y a pas violation du second principe de la thermodynamique.

 


Références :
An introduction to black hole evaporation (J. Traschen)
Introductory Lectures. on Black Hole Thermodynamics. (T. Jacobson)
The Thermodynamics of Black Holes (R. Wald)
Quantum Vacuum Structure and Cosmology (Rafelski, Labun & Hadad)
The entropy of black holes : a primer (T Damour)